Näherung von Pi durch n-Ecke

Aus Geogebra Rheinland-Pfalz
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Inhaltsverzeichnis

Aufgabenstellung

Auf einem Kreisbogen eines Kreises mit dem Radius 1 werden n-Punkte in gleichem Abstand erzeugt und diese durch Streckenzüge verbunden. Das n-Fache der Streckenlängen ergibt den Umfang des n-Ecks, der sich für große n dem Kreisumfang nähert. Nach Division durch 2 erhält man daraus eine Näherung für die Kreiszahl Pi.

Anleitung

Schritt Was ? Wo? Wie?
1 Erzeugung eines Einheitskreises mit Mittelpunkt M Grafik-Ansicht oder Menü Ansicht Wählen Sie das Werkzeug  GeoGebra button point.gif  und klicken Sie auf eine Stelle in der Grafik-Ansicht. Es erscheint ein Punkt A. Wählen Sie jetzt das Werkzeug  Tool Circle Center Radius.gif 

und klicken mit der Maus auf den Punkt A. Im Eingabefenster geben Sie als Radius 1 ein. Jetzt wählen Sie mit der rechten Maustaste zum Punkt A das Kontextmenü aus und benennen den Punkt in M um. Vergrößern Sie anschließend nach Belieben die Objekte in der Grafik-Ansicht mit Hilfe des Werkzeugs  GeoGebra button zoom in.gif 

oder durch Scrollen mit der mittleren Maustaste. Erzeugen Sie dann mit  GeoGebra button point.gif  einen neuen Punkt A auf der Kreislinie.

2 Unsichtbares Koordinatensystem Grafik-Ansicht oder Menü Ansicht Es gibt mehrere Möglichkeiten dies zu tun:
  • Entfernen Sie im Menü Ansicht den Haken bei Achsen.
  • Klicken Sie mit der rechten Maustaste auf die Grafik-Ansicht und klicken im Kontext-Menü den Befehl Achsen an.
3 Erstellung des Schiebereglers für n Zeichenwerkzeug  GeoGebra button slider.gif  Wählen Sie das Werkzeug Schieberegler  GeoGebra button slider.gif  und klicken auf eine Stelle in der Grafik-Ansicht. Im erscheinenden Dialog wählen Sie die Option Zahl, geben als Name "n" an und ändern bei Intervall die untere Grenze min. auf 1 und die obere Grenze max. auf 100. Auf der Registerkarte Schieberegler setzen Sie die Breite auf 500.
4 Erzeugung der Eckpunkte des n-Ecks Befehl "Folge" Die Eckpunkte des n-Ecks werden durch n Drehungen des Punktes A erzeugt, wobei die n-te Drehung einen Bildpunkt liefert, der mit A zusammen fällt. Dazu wird in der Eingabezeile der Folgenbefehl benötigt: Liste1=Folge[Drehe[A,i*360°/n,M],i,0,n]. Nach Eingabe werden die n-Kreispunkte gezeichnet, wenn man den Schieberegler betätigt.
5 Erzeugung der Seiten des n-Ecks Befehl "Folge" Die Seiten des n-Ecks werden durch eine Folge von Strecken erzeugt. Dabei müssen die einzelnen Punkte der Liste1 angesprochen werden. Das geschieht mit dem Befehl "Element[...]": Liste2=Folge[Strecke[Element[Liste1,i],Element[Liste1,i+1]],i,1,n]. Werden dabei Elemente angesprochen, die in der Liste1 nicht vorhanden sind (fehlerhafte Parametereingabe), dann erscheint in der Liste2 an der entsprechenden Stelle ein Fragezeichen. Der Befehl wird trotzdem ausgeführt.
6 Berechnung einer Näherung für Pi durch die Seitenlängen der n-Ecke Eingabezeile; Befehl "Vieleck" Durch Eingabe von Pi=Element[Liste2,1]*n/2 wird zunächst der Umfang des n-Ecks berechnet, der nach Division durch 2 eine Näherung für die Kreiszahl Pi darstellt. Nach Eingabe von "Vieleck[Liste1]" wird außerdem noch das Vieleck eingezeichnet und der Inhalt berechnet, der direkt als eine zweite Näherung für Pi verwendet werden kann.
7 Erstellen der Textbox Werkzeug  GeoGebra button text.gif  Es wird eine dynamische Textbox erstellt. Dazu wird der Text "Die Näherung für die Kreiszahl Pi durch die Umfänge der n-Ecke beträgt "+Pi+". Der Flächeninhalt des "+n+"-Ecks beträgt "+Vieleck+"." Die Variablen können in den Text auch als Objekte direkt eingebunden werden, dann entfällt die Zusammenfügung von Textelementen und Variablen durch das Pluszeichen.

Einsatz im Unterricht

Der Einsatz kann Mathematikunterricht in der Klassenstufe 8 oder 10 erfolgen, wo Kreise und Körper behandelt werden. Auch eine Behandlung im Zusammenhang mit Folgen in der Jahrgangsstufe 11 ist denkbar und sinnvoll. Bei der Nutzung von Geogebra entfällt die Herleitung einer Iterationsformel für die Seitenlängen der n-Ecke. Falls hinreichend Zeit vorhanden ist, empfiehlt es sich selbstverständlich, das Verfahren von Archimedes zu behandeln und anschließend mit einem Tabellenkalkulationsprogramm auszuführen. In jedem Fall ist zu bedenken, dass die SuS lernen sollten, den Computer als Werkzeug zu benutzen. Die gemeinsame Entwicklung einer Idee für ein Programm zur näherungsweisen Berechnung und die anschließende Umsetzung durch die SuS sind auf jedenfall einem elektronischen Arbeitsblatt vorzuziehen, wo den SuS nur die Lösung vorgeführt wird.

Lösung