Zwei Grafik-Ansichten nutzen um Funktion grafisch abzuleiten

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Kurzinfo
Aufgabe für Fortgeschrittene Nutzer
Dies ist eine Aufgabe für fortgeschrittene GeoGebra-Nutzer. ... mehr davon hier.
Birgit Lachner.
Diese Seite wurde von Birgit Lachner erstellt.


Inhaltsverzeichnis

Aufgabenstellung

Verwenden Sie die zwei Grafik-Ansichten, um in der ersten Grafik-Ansicht die Tangente und deren Steigung einzuzeichnen und in der zweiten Grafik-Ansicht einen Punkt, der den Wert der Steigung als Funktionswert nutzt.

Anleitung

Schritt Was ? Wo? Wie?
1 Schalten Sie die zweite Grafik-Ansicht an und verschieben Sie diese, so dass beide Grafik-Ansichten übereinander stehen Menü Ansicht Wählen Sie im Menü Ansicht den Befehl Grafik 2. Je nach Voreinstellung erscheint die zweite Grafik-Ansicht im Hauptfenster oder schwebend. Falls Sie außerhalb des GeoGebra-Fensters schwebt klicken Sie auf den kleinen Knopf AnsichtKnopfFensterInHauptfenster.png.

Halten Sie dann mit der linken Maustaste die obere Kante der Grafik-Ansicht 2 fest (da wo sich auch die kleinen Knöpfe und die Bezeichnung Grafik 2 befinden) und ziehen Sie die Maus nach unten. Es wird eine Voransicht gezeigt, die andeutet, wohin die Grafik-Ansicht 2 angezeigt werden würde, wenn Sie in diesem Moment die Maustaste loslassen. Lassen Sie die Maustaste los, wenn der Vorschau-Rahmen nur unter der Grafik-Ansicht 1 zu sehen ist.

Verschieben Sie in beiden Grafik-Ansichten das Koordinatensystem, so das der Ursprung zu sehen ist. Halten Sie dazu die Großschreibe-Taste gedrückt (Shift-Taste,   ), halten eine Grafik-Ansicht mit der linken Maus-Taste fest und verschieben Sie diese wie gewünscht. Achten Sie bei der zweiten Grafik-Ansicht darauf, dass die y-Achsen beider Ansichten direkt übereinander liegen.

2 Zeichnen Sie in der Grafik-Ansicht 1 eine Normalparabel Eingabezeile Klicken Sie mit der linken Maustaste in die Grafik-Ansicht. Zum Zeichen das diese aktiviert ist, erkennen Sie daran, dass der Name Grafik nun fett geschrieben ist, im Vergleich zu Grafik 2.

Geben Sie in der Eingabezeile ein f(x)=x^2 und drücken die Return-Taste.

HINWEIS: Falls die Parabel doch in Grafik 2 erscheint können Sie dies nachträglich ändern. Klicken Sie den Graphen rechts an, wählen im Kontextmenü Eigenschaften und wählen die Registerkarte Erweitert an. Ganz unten können Sie im Bereich Anzeigen in das Kreuzchen bei Grafik 2 entfernen und eines bei Grafik 1 setzen.

3 Zeichnen Sie einen Gleiter auf den Funktionsgraphen und die Tangente an diesem Punkt ein Zeichenwerkzeuge  GeoGebra button point.gif  und  GeoGebra button tangent.gif  Wählen Sie das Zeichenwerkzeug Neuer Punkt  GeoGebra button point.gif  und klicken auf den Funktionsgraph. Probieren aus, ob Sie richtig getroffen haben und bewegen den Punkt mit dem Werkzeug Bewege  GeoGebra button move.gif .

Wählen Sie dann das Werkzeug Tangente  GeoGebra button tangent.gif  in der vierten Werkzeug-Box und klicken erst den Punkt und dann den Funktionsgraphen an.

4 Lassen Sie das Steigungsdreieck anzeigen Zeichenwerkzeuge  GeoGebra button slope.gif  Wählen Sie das Werkzeug Steigung  GeoGebra button slope.gif  in der achten Werkzeug-Box und klicken die Tangente an.
5 Zeichnen Sie in Grafik-Ansicht 2 einen Punkt, der den x-Wert des Gleiters und als y-Wert die Steigung der Tangente hat Eingabezeile. Aktivieren Sie die Grafik-Ansicht 2 (wie in Punkt 2 beschrieben) und geben unten in der Eingabezeile ein: P=(x(A),m). m ist dabei der übliche Name, den das Werkzeug Steigung als Name verwendet, wenn dieser Namen noch nicht vergeben ist. A ist der Name des Punktes, wenn man noch keine anderen Punkte gezeichnet hat.
6 Formatieren Sie die Linien mit eigenen Farben und etwas dicker, ebenso die Punkte. Eigenschaften-Dialog Damit alles etwas deutlicher sichtbar wird, können Sie folgendes machen. Öffnen Sie den Einstellungs-Dialog für ein beliebiges Objekt:
  • Funktionsgraph und Gerade etwas dicker machen, jeweils auf der Registerkarte Darstellung
  • Wählen Sie andere Farben, z.B. für Tangente, Punkte und Funktionsgraph verschieden, Punkt P und Steigungsdreieck identisch
  • Ändern die Anzeige der Punkte auf der Registerkarte Darstellung
  • Schalten Sie bei den Punkten die Anzeige der Koordinaten an. Wählen Sie dazu auf der Registerkarte Grundeinstellungen hinter Beschriftung anzeigen die Option Name & Wert.
7 Schalten Sie die Spur für den Punkt P ein und bewegen den Punkt A. Kontextmenü, Werkzeug  GeoGebra button move.gif  Klicken Sie P in der Grafik-Ansicht oder in der Algebra-Ansicht rechts an und wählen im Kontextmenü Spur ein. Zum Bewegen von A müssen Sie eventuell das Werkzeug Bewege  GeoGebra button move.gif  aktivieren.
8 Passen Sie das Ansehen des GeoGebra-Fensters und der beiden Grafik-Ansichten so an, dass man möglichst viel der Spur erkennen kann. Stauchen Sie ggf. die y-Achse in Grafik 2 GeoGebra-Fenster Um die Gesamtgröße zu verändern, müssen Sie den Mauszeiger auf den äußeren Rand (entweder unten, rechts oder in der rechten unteren Ecke) halten, die linke Maustaste festhalten und dann die Maus bewegen.

Um die Ansichten zu verändern, fassen Sie sie an den Linien an, bei denen sich der Mauszeiger in einen Doppelpfeil verändert. Die y-Achse in Grafik 2 kann gestaucht werden, wenn Sie den Mauszeiger über die Achse (nicht im Ursprung!) halten, die Großschreibe-Taste drücken und dann mit der linken Maustaste die Achse festhalten. Bewegen Sie die Maus in Richtung Koordinatensystem-Ursprung, damit die Achse gestaucht wird.

Probieren Sie noch einmal, wie die Spur angezeigt wird.

Erklärungen: Die zweite Grafik-Ansicht ist nichts anderes als eine zweite Ausgabe für alle vorhandenen Grafik-Objekte. Man kann wählen, in welcher Grafik-Ansicht ein Objekt angezeigt wird, natürlich auch in beiden gleichzeitig. Man kann vorab bestimmen, wohin ein Objekt gezeichnet wird, es aber auch immer nachträglich in den Eigenschaften ändern.

Leider gibt es noch keine Möglichkeit dafür zu sorgen, dass sich die zwei Grafik-Ansichten automatisch ausrichten, wenn Sie übereinander oder nebeneinander liegen. Aber dies ist als Entwicklung schon vorgemerkt. Noch muss man es von Hand machen; man könnte aber auch bei den Einstellungen der Grafik-Ansichten die genauen Werte vorgeben.

Lösung

Hinweis: In der Zeichnung hier, wurde noch eine Gerade mit dem Befehl Senkrechte[A,xAchse] eingezeichnet, entsprechend formatiert und dann in beiden Grafik-Ansichten sichtbar gemacht. So wird der Zusammenhang noch besser sichtbar.

Einsatz im Unterricht

Die Bestimmung der Koordinaten des Punktes P für die zweite Grafik-Ansicht ist sicherlich ein wichtiger Aspekt, der die Bedeutung der Ableitung deutlich machen kann. Bereiten Sie zum Beispiel das Arbeitsblatt vor und lassen Sie die Schüler überlegen, wie man die Steigung in der zweiten Grafik-Ansicht darstellen könnte.

Eine passende Anwendungsaufgabe macht das Ganze sicherlich interessanter.

Auch sollte man noch nachträglich die Beschriftung der y-Achsen anzeigen lassen, damit klar wird, was der y-Wert in der oberen Ansicht und was er in der unten Ansicht bedeutet.

Weitere Ideen, wie diese Zeichnung verwendet werden kann:

  • Mit diesem Arbeitsblatt können auch verschiedene Funktionen und die Ableitungsregel untersucht werden, wie zum Beispiel, dass ein konstanter Summand keine Auswirkung hat.
  • Es können Ableitungsfunktionen für verschiedene Funktionen bestimmt werden, indem die Schüler in der zweiten Grafik-Ansicht eine Funktion g(x) anzeigen lassen und die passende Funktion zur Spur finden sollen.